テレンス・タオとユーフェイ・ジャオの生徒たちがチームを組み、数学界に新たなサプライズを届けました。

組合せ論における最大の課題の 1 つである、無秩序から秩序を証明するという課題において、23 年ぶりに大きな進歩が達成されました。

この問題はどれくらい難しいですか？

著名な中国系アメリカ人数学者でMIT准教授のYufei Zhao氏は、「このプロジェクトを学生にやらせることは勧めない」と語る。

興味深いことに、これは「予想外の」利益でした。

テレンス・タオの弟子であり大学院2年生のジェームズ・レン（以下、シャオ・レンと略す）は、もともとフィールズ賞受賞者のティモシー・グールドの理論的研究を引き継ごうとしていた。

しかし、1年以上経っても、彼はほとんど何も得られなかった。

途方に暮れていた彼は、趙玉菲の2人の天才的な教え子、アシュウィン・サー（以下、シャオ・サーと略す）とメータアブ・ソーニー（以下、スー・ゲと略す）に出会った。2人は学部時代に一緒に10本以上の論文を発表していた。

3人は出会って、突然ひらめきを得ました。シャオ・レンの研究手法をセメレディの定理に適用すれば、実際に何か新しい進歩につながるかもしれない、と。

数か月後、まだ博士号取得を目指していた3人の若者は実際にそれを実行した。

組合せ数学の問題における23年ぶりのブレークスルー

Xiao Leng、Xiao Sa、Suo Ge による研究は、組み合わせ論の分野における大きな挑戦であり、Semeredi 定理のさらなる研究です。

セメレディの定理は、2012年のアーベル賞受賞者でありハンガリーの数学者であるセメレディ・エンドレ（注: ハンガリー人は通常、姓を先に書き、次に名を書きます）によって1975年に証明されました。エンドレは次のように述べています。

整数の集合 A が正の自然密度を持つ場合、任意の正の整数 k に対して、k 個の項を含む等差数列が A 内に見つかります。

いわゆる正の自然密度とは、n が無限大に近づくと、A と数列 1,2,...,n の交点の要素数と n の比が 0 より大きいことを意味します。

よく知られている反例としては、2、4、8... のような等比数列が挙げられます。これは数直線上で「まばらすぎる」と考えられており、正の自然数密度を持ちません。

この理論の予想は、1936 年にハンガリーの数学者エルデシュ・パルとトゥラン・パルによって提唱されました。

明らかに、この結論は k = 1 および 2 の場合に当てはまりますが、k = 3 の場合は 1953 年にイギリスの数学者クラウス・ロスによって証明されました。

1969 年、セメレディは組合せ数学を使用して k = 4 の場合を証明し、最終的に結論は任意の k に対して成り立つことを証明しました。

その後、他の数学者たちがエルゴード理論やフーリエ解析などの手法を用いてこの結論を証明しました。

これはテレンス・タオに感銘を与え、彼はこの定理の多くの証明を、一見全く異なる数学の複数の分野を結びつけるものとして「ロゼッタ・ストーン」と呼んだ。

いずれにせよ、セメレディ定理の証明は終着点ではなく、むしろ新たな議論を引き起こした。

セメレディ定理には別の定式化もある。

1 から N までの正の整数からサブセットを選択し、特定の値 k に対して、サブセット内に長さ k の等差数列が存在しないとします。

そして、N が無限大に近づくにつれて、サブセットのサイズ r_k(N) と N の比率は 0 に近づきます。

しかし、この比率がゼロに近づく正確な割合は不明であり、過去数十年にわたって研究テーマとなっています。

前述の通り、フーリエ解析を用いてセメレディ定理の新たな証明を与えた人物がいます。その人物とは、1998年にフィールズ賞を受賞したイギリスの数学者、ティモシー・ガワーズです。

さらに重要なことに、Gouls は r_k(N) と N の比率の上限も示しました。つまり、この比率が減少する速度は、特定の関数の速度よりも遅くならないということです。

この関数は次のようになります。

その後20年間、人々は特定のkの値に対するr(N)の範囲のより正確な上限を与え続けてきました。

たとえば、2017 年に、テレンス・タオとイギリスの数学者ベン・グリーンは、k = 4 の新しい上限を示しました。

しかし、この研究まで、k がどのような値を取る場合でも新たな進歩はなかった。

2022年、UCLA大学院2年生のシャオ・レンさんはゴラーズの理論の研究を始めました。

しかし、彼はゴアーズが提起した技術的な問題に気を取られ、セメレディの定理については考えなかった。

一年があっという間に過ぎ、シャオ・レンは何の成果も上げられなかったが、彼の研究はシャオ・サとソウ・ゲの注目を集めた。

彼らは、シャオ・レンの研究がセメレディの定理のさらなる進歩に役立つかもしれないと気づいた。

そこで 3 人の若い数学者が協力し、数か月以内に k=5 のより正確な上限を導き出しました。

今年、3人の研究者はこの結論を、kが任意の値をとれる場合にまで拡張し、この問題に関して23年間で最も重要な進歩を遂げた。

証明の核心は、ガウス U^(k+1) ノルムの逆定理の応用にあります。これは、関数が何らかの意味でゼロに近いかどうかを測定する方法を提供する、フーリエ解析に関連する高度なツールです。

逆定理も 3 人の人物によって発見され、その説明には 100 ページに及ぶ論文が使用されました。

これは、関数がノルムの意味で十分に大きい場合、数学的に「構造化オブジェクト」と呼ばれる特定の構造を持つ特定のシーケンスに関連付けられる必要があることを示しています。

この逆定理を使用して、著者らは問題を元の整数集合から特定の代数構造を持つニル多様体多様体に移しました。

これらの多様体上の nil シーケンスを詳細に分析することにより、著者らは整数セット上のこれらのシーケンスのバリエーションを制御することに成功しました。

次に、セットを分解して密度増加戦略を適用することで、k 項算術シーケンスを含まないサブセットの密度を、特定のしきい値に達するか、それ以上増加できなくなるまで徐々に増加させました。

この反復プロセスを通じて、著者らは、以前の結果よりもはるかに高い密度を持つ十分に大きなサブセットの存在を証明し、k = 5 の結論をより高い k 値に一般化しました。

陶哲軒と趙玉飛の天才生徒たち

3人の著者のうち、ジェームズ・レンは現在UCLAで学んでおり、フィールズ賞受賞者のテレンス・タオの指導を受けている。

彼の主な研究分野は、算術的組合せ論、力学システム、フーリエ解析です。

アシュウィン・サー氏とメータアブ・ソーニー氏はともにMITの准教授であるユフェイ・ジャオ氏の教え子である。

シャオ・サチーは「天才少年」と言えるでしょう。

彼は2016年の国際数学オリンピック（IMO）で金メダルを獲得し、2018年に開催された第1回アリババ世界数学コンテストでも銀メダルを獲得しました。

新入生の頃、シャオ・サは趙玉菲の大学院レベルの組合せ論の授業を聴講しました。これがすぐに趙玉菲の注目を集めました。

彼はまだ新入生であるにも関わらず、そのコースをマスターしていることは明らかです。

サーシャは学部時代にすでに20以上の数学の論文を執筆しており、わずか2年半でMITを卒業しました。

これには、ラムゼー数における大きな進歩も含まれます。ラムゼー数の新たな上限が示され、これは「既存の研究の手がかりを使用して得られる最良の結果」であると考えられています。

Mehtaab Sawhney さんは Xiao Sa さんより 1 年先輩で、学部時代に Zhao Yufei さんの組み合わせ数学のコースも受講しました。

蘇氏と肖沙氏は学部時代から互いの研究パートナーであり、蘇氏のホームページに掲載されている70本の論文のうち60本に肖沙氏の名前が含まれているほど、二人の関係は親密だ。

彼らの指導教官である趙玉菲は、学部時代の彼らについて次のようにコメントしている。

MIT は学部研究において長い歴史と伝統を持っていますが、論文の質と量の両方において、アシュウィン・サーやメータブ・ソーニーのレベルには達していません。

十河氏はすでに博士号を取得し、コロンビア大学の教員に就任しています。また、今年初めにはクレイ・フェローにも任命されました。

△シャオ・サッソとチャオ・ユーフェイの写真。画像出典: MIT

二人の旧友によるコラボレーションは継続しており、大きな期待を集めています。彼らの指導者である趙玉菲は次のように述べています。

彼らが注目に値するのは、高度な技術的課題を理解し、改善する能力です。

彼らの全体的な業績を言葉で要約するのは難しい。

参考リンク:
[1]https://arxiv.org/abs/2402.17995 [2]https://www.quantamagazine.or... [3]https://en.wikipedia.org/wiki...\_theorem

- 以上-