125年を経て、ついに有名なヒルベルトの第六問題が中国人によって解決されました！

この研究には以下の3名の著者がいます。

• Deng Yu 、シカゴ大学教授、北京大学（2007 年卒業）および MIT 卒業生。
• シャオ・マーはミシガン大学の助教授です。中国科学技術大学の英才特別クラスを卒業しています。
• ザヒール・ハニ：ミシガン大学教授、テレンス・タオの教え子。

ヒルベルトの第 6 問題は、1900 年にデイヴィッド ヒルベルトによって提案された 23 の数学的問題のうちの 1 つであり、公理的な方法による物理法則の導出を必要とします。

具体的には、著者らはミクロなニュートン力学から出発し、ボルツマン力学理論を通じて流体力学の基本方程式を導出する必要があります。

彼らの成果は理論的に大きな意義を持つだけでなく、流体力学の研究に新たな数学的ツールを提供するものでもあります。

数学と物理学の両界に大きな影響を与えたと言えるでしょう。

Xiaohongshu のユーザー「Mathematics Five」 （ドイツとフランスの純粋数学の博士課程の学生 5 人の記録）は、次のようなレビューを投稿しました。

中国人にとって、それは数学の奇跡の年でした。

これにより、狭義のヒルベルトの第 6 問題に満足のいく結論がもたらされます。

もしこの論文が正しければ、間違いなくフィールズ賞の候補となるだろう。

さらに、ネットユーザーたちは、このことと北京大学卒業生の王宏氏（1991年生まれ、16歳で北京大学に入学、2007年卒業）が卯谷予想を解いたという事実を結び付けて、 「北京大学数学科はまさに中国一の学部と呼ばれるに値する」 、 「2007年卒業の学生たちは本当にすごい」と絶賛した。

では、ヒルベルトの第六問題は具体的にどのように解かれるのでしょうか？論文を見てみましょう。

ニュートンの古典力学から流体運動の法則へ

1900年、パリで開催された第二回国際数学者会議で、ドイツの数学者ダヴィド・ヒルベルトは「ヒルベルトの23の問題」として知られる23の未解決問題を提示しました。

リーマン予想、ゴールドバッハ予想、双子素数予想は、私たちがよく知っている8番目の問題です。今回は、この3人が6番目の問題、つまり「公理的物理学」を解きます。

「公理的物理学」の特徴は、特定の数学的表現ではなく、数学的概念であるという点です。その核心的な内容は次のとおりです。

数学的手法を物理学に厳密に適用し、物理学のための数学的公理系を確立すること。

具体的には、ヒルベルトはユークリッド幾何学の公理的プロセスとの類推を導き出し、数学的論理に基づいた厳密な物理学のシステムを構築することを望んでいました。

その後の議論で、ヒルベルトは問題を2つの主要な目的に分解しました。

• まず、20 世紀前半に解明された確率論の公理的基礎。
• 第二に、それは原子論から連続媒体の運動法則に至る数学的極限プロセスです。

簡単に言えば、ニュートンの運動法則（ミクロ）から出発し、数学的手法を用いて流体（マクロ）の運動方程式を導出します。過渡的な役割を果たす限界法は、ボルツマン方程式（メソスコピック）です。

しかし、ニュートンの運動法則は可逆であるのに対し、ボルツマン方程式は不可逆です。この両者の変換をいかに実現するかが、ヒルベルトの第六問題を解く鍵となっています。

ヒルベルト自身を含む科学者たちは、ボルツマン方程式を拡張することによってこのプロセスを達成しようとしてきました。

1975年まで、アメリカの数学者オスカー・ランフォードがラングフォードの定理を証明し、巨視的不可逆性と微視的可逆性の間の概念的なギャップは原理的には克服できることを示し、ヒルベルトの第6問題を解くための基礎を築いた。

昨年まで、鄧宇氏と他の2人が協力して、164ページの論文で希薄気体剛球系のボルツマン力学方程式を導き出し、ヒルベルトの第6問題の解決に向けて大きな前進を遂げていた。

本論文では、キュムラント仮説を使用して粒子衝突の完全な履歴を追跡するキュムラント解析法を採用しています。

核となるステップは、衝突履歴分子と呼ばれる一連のファインマン図構造として剛球ダイナミクスの進化を表現し、L1 空間におけるこれらの累積量が小さいこと、つまりボルツマン限界に対する漸近収束を証明することです。

重要な部分は、複雑な「切断アルゴリズム」を通じてこれらの分子の組み合わせ特性を制御し、複雑な衝突の数が制限されるようにして、発散につながる要因を排除することです。

最終的に研究者らは、累積量の寄与がボルツマン方程式の解の存在時間全体にわたって制御可能であることを証明し、ボルツマン方程式の長期的な妥当性を厳密に導き出しました。

この基礎を基にして、新たに発表された論文は最終的に特殊ヒルベルトの第 6 問題に満足のいく結論をもたらし、これに基づいて、圧縮性流体のオイラー方程式と非圧縮条件下でのナビエ・ストークス・フーリエ方程式を導出します。

これまでの研究の延長として、著者らは 2 次元および 3 次元周期トーラス上のボルツマン方程式を導出した。

直径εのN個の剛体球からなる系を考え、粒子間の弾性衝突とニュートンの法則に従う運動を仮定する。ボルツマン・グラード極限では、Nは無限大に近づき、εは0に近づき、Nεd⁻¹は一定αのままである。

このスケールでは、著者らは粒子システムの s 粒子相関関数がボルツマン方程式の解に収束することを証明しました。ここで、s は粒子の総数 N よりもはるかに小さいです。このステップにより、ミクロな粒子システムがメソスコピックな運動論方程式であるボルツマン方程式に接続されます。

次に、ボルツマン方程式からマクロな流体力学方程式への極限過程を考えてみましょう。衝突率αが無限大に近づくと、物理的には希薄気体の平均自由行程がゼロに近づくことに対応し、マクロ的には流体の連続媒質極限として現れます。

数学的な結果によれば、特定の条件下では、ボルツマン方程式の局所マクスウェル形式が流体力学方程式の解に収束することが示されています。

最後に、粒子系からボルツマン方程式へ、そしてボルツマン方程式から流体力学方程式への上記の極限過程を組み合わせ、反復極限を取り、まずαを固定してNを無限大に、εを0に近づけ、次にαを無限大に近づけることで、粒子系の物理量の極限が巨視的流体力学方程式を満たすことを証明する。

これにより、ヒルベルトの第 6 の問題、すなわち、ボルツマン力学理論を通じてミクロな粒子システムに対するニュートンの法則からマクロな流体力学の偏微分方程式を厳密に導くという問題の解決が完了します。

著者について

冒頭でも述べたように、この研究所はシカゴ大学のYu Deng教授、ミシガン大学のZaher Hani教授、およびXiao Ma助教授によって共同で設立されました。

鄧宇は深圳高級中学を卒業し、その後北京大学に入学し、その後MITに転校し、最終的にプリンストン大学で博士号を取得しました。

鄧宇氏自身の知乡への投稿によると、MITでの2学期目、彼は5つか6つの数学の授業を受講しながら、同時に3冊の本を読んでいたという。最も多かった時には1日8時間40分も勉強し、85ページの論文を1週間かけて読み、誤りの発見を含め、細部まで検証したこともあったという。

この回答は2018年3月に書かれたもので、鄧瑜氏は投稿の中で「もうすぐ29歳になる」と述べていました。これを踏まえると、鄧瑜氏の今年の年齢はおよそ35歳です。

興味深いことに、鄧瑜氏は最近解決された谷谷予想について、知乎に科学一般の記事も書いています。

ミシガン大学のザヒール・ハニ教授は少し年上です。

ハニさんはレバノン出身で、ベイルート・アメリカン大学で学士号を取得し、カリフォルニア大学ロサンゼルス校（UCLA）で修士号と博士号を取得しました。

ハニの博士課程の指導教官は、他でもない著名な数学者テレンス・タオであった。

卒業後、ハニは研究助手兼教育助手として大学に残りました。2011年にはニューヨーク大学で博士研究員として研究を行い、その後ジョージア工科大学で勤務しました。

ハニ氏は2018年にミシガン大学に着任し、現在も勤務しています。2022年に教授に昇進しました。彼女の研究分野には、「非線形偏微分方程式の数学的解析と、それらの統計物理学および乱流理論との関連」が含まれます。

もう一人の著者、馬暁氏は2018年に中国科学技術大学の優秀青少年プログラムを卒業し、2023年にプリンストン大学で博士号を取得した。

その後、馬暁はミシガン大学に赴任し、博士研究員として研究を行い、助教授も務めた。

論文リンク: https://arxiv.org/html/2503.0...

参考文献: [1] https://www.zhihu.com/questio... [2] https://blog.sciencenet.cn/bl...