二人の高校生によって発見されたピタゴラスの定理の新たな証明が論文として発表された。

そして今、数学の天才テレンス・タオ氏がこの論文についてコメントしました。

数年前にこのニュースを初めて聞いたとき、それを証明する具体的な詳細はありませんでした。

しかし今、（一定の制約の下で）彼らは確かに少なくとも 5 つの新しい証明を発見しており、そのどれもが既存の証明と同じではありません。

この2人の高校生は、 Ne'Kiya Jackson さんとCalcea Johnson さんです。

2022年に彼らは米国ニューオーリンズのセントメアリーズアカデミーで学んでいたときに、ピタゴラスの定理の新しい証明を発見しました。

△左：ネキヤ・ジャクソン。右：カルセア・ジョンソン

ピタゴラスの定理は、よく知られているフレーズ「3-4-5」やその基本式a² + b² = c²を含め、おそらく誰にとっても非常に馴染み深いものでしょう。

この定理は2,500 年以上も昔のものですが、その重要性は現代数学に今も浸透していると言っても過言ではありません。

二人が新たな証拠を発表すると、業界に大きな騒ぎが起きた。

長い間、数学者はこの定理を証明するために主に代数的および幾何学的手法を使用してきました。

しかし、彼らは証明を行うために三角法（角度と辺の長さの関係を直接導出することに基づく数学の分野）を使用しました。

これは特に難しい作業です。

三角法は主にピタゴラスの定理に基づいているため、証明の過程で証明すべき結果が許可なく使用される、いわゆる「循環論法」に陥ることがよくあります。

1927年に数学者エリシャ・ルーミスは次のように主張しました。

ピタゴラスの定理の証明は三角法の規則では完了できません。

しかし、この一見「不可能」な方法を、２人の高校生が突破した。

注目すべきは、当時、同様の方法を使ってこれを証明したのはジェイソン・ジンバとヌーノ・ルジアという2人のプロの数学者だけで、それぞれ2009年と2015年にこれを提案していたことだ。

今回、二人はアメリカ数学月刊誌に論文を公式発表し、証明の詳細を明らかにしたが、その証明はテレンス・タオ氏にも認められている。

さらに重要なことは、この論文では5 つの新しい証明方法を詳述するだけでなく、少なくとも 5 つの追加の新しい証明を生成することが期待される体系的なアプローチも提案していることです。

つまり、新しい証明は最低 5 つで、10 個に到達することもできます。

このうち、2023年3月に学会で発表された証明は1つだけで、残りの9つは全く新しいものだった。

では、彼らは一体どうやってそれを成し遂げたのでしょうか？続きを読んでみましょう。

三角関数の証明と3つの前提条件

まず、三角関数の証明についての説明を理解しましょう。

三角関数の証明は、三角関数の性質、恒等式、基本定理を使用して幾何学的または代数的な命題を証明する方法です。

通常、三角関数 (正弦、余弦、正接など) 間の関係を使用し、それらを既知の三角関数の恒等式および公式と組み合わせて結論を導き出します。

実際、正弦と余弦の三角比は、鋭角 α に対して、直角三角形 ABC を作成し（α は 2 つの鋭角のうちの 1 つ）、3 辺のうちの 2 辺の長さを比較することによって定義されます。

sinαは対辺BCと斜辺ABの比として定義され、cosαは隣接辺ACと斜辺の比として定義されます。

ただし、直角三角形を測定して正弦または余弦を定義する方法は鋭角の場合にのみ機能し、他のすべての角度ではまったく異なるアプローチが必要になります。

これらの角度には単位円が使用されました。

点(1, 0)から出発し、円周に沿って反時計回り（負の角度の場合は時計回り）に移動し、目的の中心角αに達すると、最終的に点(x, y)に到達します。ここで、cosα = x、sinα = yと定義します。

鋭角の場合、図 1 に示すように、どちらの方法でも同じ正弦関数または余弦関数の値が得られます。

しかし、三角法と呼ぶにふさわしいのは最初の方法だけです。図 2 に示すように、2 番目の方法は円位相法と呼ぶ方が適切かもしれません。

実際、これら 2 つの方法の違いは、余弦定理 (c² = a² + b² − 2abcosγ から始めて、γ を直角にする) を使用してピタゴラスの定理を証明することは、三角法による証明ではなく、循環的な証明であることを意味します。

三角法では直角の余弦を計算できませんが、円の測定では cos(90°) = 0 であることがわかります。

同様に、ピタゴラスの定理も、cos(α − β) の公式を使用すると三角関数ではなく円関数になります (α = β として、cos(α − β) = cosαcosβ + sinα*sinβ の恒等式とする)。また、sin(α + β) の公式を使用すると同じことが当てはまります (α と β は補角です)。

証明が三角法によるものであるという主張は、他の根拠によって反駁される可能性もあります。

たとえば、ピタゴラスの定理の最も有名な証明の 1 つは、図 3 に示すように、相似性 △ABC ∼ △ACD ∼ △CBD を使用しています。a/c = x/a および b/c = y/b であるため、c = x + y = a²/c + b²/c となり、a² + b² = c² となります。

しかし、この証明は三角法として簡単に書き直すことができます。

a/c = x/a = sinα なので、x = asinα = (csinα)sinα = csin²α となり、同様に y = ccos²α となります。次に、c = x + y = c(sin²α + cos²α)、そこから 1 = sin²α + cos²α = (a/c)² + (b/c)² が得られ、したがって a² + b² = c² となります。

しかし、ここで三角法の用語を使用しても何も追加されず、実際には同じアプローチが複雑になるだけです。したがって、この証明では三角法ではなく相似三角形を使用していると言えます。

より一般的には、a² + b² = c² の証明は、csinα を a、ccosα を b と書くことによって (または、辺 a、b、c を sinα、cosα、1 に再スケーリングすることによって)、「三角形」の証明として書き直すことができます。

まず、sin²α + cos²α = 1 であることを証明し、次に sinα = a/c と cosα = b/c を逆にして、a² + b² = c² であることを示します。

この錯覚は、「三角法」が単に正弦と余弦の項を使って辺の長さを不必要に言い換えたものではないことを保証するために、このように回りくどい方法（つまり、最初に sin²α + cos²α = 1 という恒等式を証明する）で機能する「三角形」のピタゴラスの定理の証明に懐疑的になる必要があることを示唆しています。

ピタゴラスの定理の証明が循環論法に依存しないことを保証するために、2人の女性は論文の中で3つの予備事項について言及しました。

• 角度の加算式:

角度の加算式は主に三角関数の正弦と余弦の演算に使用されます。

鋭角 α、β、α+β の場合、正弦と余弦は次の関係を満たします。

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

これらの式により、ピタゴラスの定理に頼ることなく正弦と余弦を直接計算できるようになり、証明の厳密さと独立性が維持されます。

• 正弦の法則

正弦定理は、特定の三角形の辺の長さの関係を分析するために使用されます。

正弦定理の核心は、三角形の辺間の比例関係を記述することです。2つの角とその対辺が分かれば、3つ目の辺の長さを決定できます。正弦定理は次のように述べられます。

これらの式は、後続の証明のいくつかのステップで使用され、特に、特定の角度を与えられたときの辺の長さの関係を導き出すために、さまざまな辺の長さを接続して計算するために使用されます。

• 直角二等辺三角形の特殊なケース

直角二等辺三角形では、2辺の長さが等しく、この対称性により多くの計算が簡素化されます。この特殊な三角形の辺の長さの関係は、ピタゴラスの定理を満たすという結論に直接つながります。

したがって、直角二等辺三角形の場合、2 辺の平方の合計が斜辺の平方に等しくなるため、証明はより簡単になります。

次に、重要な証明に移ります。

ピタゴラスの定理の5～10個の新しい証明

読みやすく理解しやすいように、このセクションでは証明の原文を直接提示します (式を示すのは実際には簡単ではありません)。

最初の証明

第二校正

3番目の証明

第四の証明

第五証明

さらに、この論文では、使用された特定の方法についても詳しく紹介しています。

2人の女性はまず、自分たちの研究で解決しようとした根本的な疑問を提起しました。

与えられた直角三角形 △ABC を使用して、どのような新しい直角三角形を作成できますか?

新しい三角形の作成は、△ABC の 3 つの角度 α、β、90° の整数倍の和または差 (つまり、α+β) となる三角形に制限されます。

したがって、この質問に対する答えは直接的かつ明確になります。

補題1

a) △ABC が直角二等辺三角形（すなわち、α = β = 45°）の場合、整数角 α と β の線形結合によって形成される三角形はすべて直角二等辺三角形です。

(b) 直角三角形 △ABC において α < β ならば、2α と β−α が鋭角となる直角三角形が存在する。さらに、任意のペア {α, β} に対して、2α と β−α は、直角三角形の鋭角を形成できる整数 α と β の唯一の線形結合である。

証明する

a) 二等辺三角形 △ABC の3つの角はすべて45°の倍数であるため、新たに作る三角形（△ABCの角の和または差に限ります）のすべての角も45°の倍数です。したがって、得られる三角形は必ず直角二等辺三角形になります。つまり、直角二等辺三角形から始めても、新しい三角形を作ることはできません。

b) ここで、α < β と仮定します。新しく構築された直角三角形の鋭角が mα + nβ (ただし m, n ∈ Z) である場合、その補角は次のようになります。

90°−(mα+nβ)=(α+β)−(mα+nβ)=(1−m)α+(1−n)β

整数nも1−nも0でない場合、どちらか一方（例えばn）は負になります。nを|n|に置き換えると、角度の1つはmα−nβ（m>n>0）であることがわかります。

しかし、αの次数が90n/(m+n)のとき、その補角βの次数は90m/(m+n)です。この構成により、mα−nβ=m⋅90n/(m+n)−n⋅90m/(m+n)=0という角度が得られます。

これは、n=0、つまり、mαの鋭角測度の1つに対して何らかのm∈Nが必要であることを意味します。

m=1 の場合、元の三角形 △ABC を単純に再構成します。m=2 の場合、鋭角 2α と β−α を持つ新しい直角三角形が得られます（α<45° なので、2α<90° であることに注意してください）。

最後に、30° ≤ α < 45°の場合、そのような三角形は存在できないため、m ≥ 3は不可能であることがわかります。

この補題は、ピタゴラスの定理（二等辺三角形でない直角三角形の場合）の証明をどのように見つけるかを正確に示しています。元の三角形 ABC から始めて、角度が 2α、β − α、90° として測定される新しい直角三角形をできるだけ多く作成しようとします。

たとえば、2α 角度を作成する最も簡単な方法は、図 13 に示すように、△ABC の 2 つのコピーを組み合わせることです。

これにより、角度が 2α、β、β として測定される二等辺三角形 ABB' が作成されます。次の手順では、β として測定された角度の 1 つを取り、それを β − α または 90 度として測定される角度に変換します。

頂点B'で90度の角を作るには、BB'と角度αをなす直線を描きます。次に、辺ABを延長して直線と点Dで交差させると、最初の証明のグラフが得られます（図14）。

あるいは、以下に示すように、斜辺 AB の反対側に 2α ​​の角度を作成し、BC を延長して新しい光線を点 D で交差させると、2 番目の証明に直接つながるグラフが得られます (図 15)。

他の 5 つの証明方法については、興味のある読者は記事の末尾にあるリンクをクリックして詳細を確認できます。

高校の数学コンテストに触発されて

しかし、ピタゴラスの定理のこの新たな証明のほかにも、ネキヤ・ジャクソンとカルセア・ジョンソンの背景にある物語も議論する価値がある。

彼らは論文の謝辞の部分でもこれについて触れています。

この事件は、2人が数年前に参加した高校の数学コンテストに端を発しており、そのコンテストにはボーナス問題も含まれていた。

ピタゴラスの定理の新しい証明を作成して 500 ドルの報酬を受け取ります。

そこで彼らはそれぞれ挑戦することに決めました。

しかし、課題は当初の予想をはるかに上回る困難を極め、二人は数え切れないほどの眠れない夜を過ごし、何度も試行錯誤を繰り返した。約1ヶ月の努力の末、二人はそれぞれ証明を完成させ、課題を提出した。

さらに、彼らの数学教師リッチは、その証明方法は数学の会議で発表する価値があるほど斬新であると信じていました。

彼らは自分の仕事にあまり自信がなかったものの、挑戦してみることにしました。

それからの2、3か月間、2人は自由時間をすべて作品の完成と改良に費やした。

彼らは、放課後だけでなく週末や休日も努力を続けながら、自主的にも協力的にも活動しています。

その過程で、リッチの指導の下、彼らはさらに多くの証明方法を生み出しました。

通常、このような会議で講演する機会はプロの数学者か、たまに大学生にしか与えられないため、会議で発表する機会があるかどうかは不明でしたが、彼らの高校時代の研究は最終的に認められ、2023年3月に開催されるアメリカ数学会南東部支部での発表が承認されました。

Ne'KiyaさんとCalceaさんは、今回のカンファレンスの参加者と講演者の中で最年少でした。二人はとても緊張していましたが、これがこれまでの努力の集大成だという思いが、自信を持って発表に臨むきっかけとなりました。

彼らの発表は成功し、その後アメリカ数学会から研究結果を学術誌に投稿するよう奨励されました。

二人には学術論文を書いた経験がなかったため、これは彼らにとって最も困難な課題でした。

当時、彼らは LaTeX コードの学習、グループでの 5 ページの論文の完成、実験データ分析の提出など、大学生活のさまざまな課題にも適応していました。

しかし、指導者の指導と多大な個人的な努力により、彼らはついに論文を完成させました。

今このプロセスを振り返って、Ne'Kiya と Calcea は論文の中で次のように書いています。

私たちにとって、この地点に到達することは容易なことではありませんでしたし、まっすぐ進むべき道でもありませんでした。

私たちには既に用意されたロードマップがなく、自分たちの仕事が認められるかどうかも不安でした。何度も諦めようかと思いましたが、最終的には粘り強く、始めたことをやり遂げようと決意しました。

この論文に関して、テレンス・タオ氏も次のように考えを述べています。

この論文は、数学における最も古く、最も確立された基本的な結果でさえ、時にはまったく新しい観点から再検討できることを私たちに思い出させます。

さらに、多くの数学者も議論に参加しています。

論文全文は下記にありますので、ご興味のある方はぜひお読みください。

論文リンク: https://www.tandfonline.com/d...

参考リンク:
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/1... [2]https://www.sciencedaily.com/...