中国の学者たちは、ニュートンが提起した「キス数」問題の解決に新たな進歩を遂げた。

n 次元空間で n 次元の球が与えられた場合、重なり合わずに触れることができる同一の球は最大でいくつありますか?

スタンフォード大学の博士課程学生であるアンキ・リーは、マイクロソフトでのインターンシップ中にこの研究を完了しました。指導教官のヘンリー・コーンは当初、コンピューターの支援を受けることを想定していましたが、彼女は独創的な方法で新たな数学的解決策を見出しました。

この問題は低次元では非常に直感的です。例えば、2次元空間における「キスカウント」は6です。テーブルにコインを1枚置くと、その周りに最大6枚のコインがあることがすぐに分かります。

3次元空間では、「キスの数」は12です。

高次元空間は直感的に視覚化できず、解決がより困難ですが、科学者は何世紀にもわたって研究を続けてきました。

さらに、この問題は通信分野における符号化エラー訂正にも密接に関連しており、NASA がボイジャー宇宙船の通信コードを設計する際に使用されました。

24 ビットのバイナリ エンコーディングを使用すると、電球 1 個 (約 20 ワット) の電力でカラー写真を宇宙から地球に送信することができます。

では、バイナリエンコーディングは高次元球とどのように関係しているのでしょうか?

各通信コードを高次元空間内の点として考えると、この点は球の中心とも考えられます。

この時点で、球の半径はエラー許容範囲を表します。伝送中にノイズが発生し、情報が歪むと、受信情報は元の符号化から逸脱します。

しかし、歪んだ情報が、ある符号化語に対応する球面の範囲内にまだ収まっている場合、伝送されるべき元のコードを識別することができ、通信における誤り訂正を実現できます。

したがって、通信符号化設計問題は、高次元空間での球面スタッキングの問題を解決することに変換され、キッシング数問題は、局所最適スタッキングを研究するための重要なツールとなります。

逆に、コーディング設計の進歩は、数学者が高次元キス数問題の結果を改善するのにも役立ちます。

球面キス問題

1694 年 5 月、アイザック ニュートンとデイビッド グレゴリーという 2 人の著名な科学者がケンブリッジ大学のキャンパスで星の性質について有名な議論を交わした時代を振り返ってみましょう。

この議論は最終的に古典的な球面キス問題につながりました。

中心の球が与えられている場合、互いに接触しながらも重なり合わないように配置できる同一の球はいくつありますか?

3次元空間の場合、ニュートンは12であると考えましたが、グレゴリーは13であると考えました。

ニュートンの正しさが数学者たちによって証明されたのは1952年のことでした。しかし、3次元空間における最適解を観察すれば、グレゴリーがなぜそこにもう1つのボールを収容できると推測したのかは容易に理解できます。

一般的に、次元が大きくなるにつれて、球間の隙間も大きくなり、問題がより難しくなるというのが一般的なパターンです。

しかし、このパターンは 24 次元空間では例外になります。

1967 年、数学者ジョン・リーチは、彼の名にちなんで名付けられたリーチ格子を構築しました。

この格子を使用すると、球を 24 次元空間に「完璧に」密集させることができます。この空間での最適な接吻配置は、各球が 196,560 個の隣接する球と接触することです。

しかし、キッシング数問題は、他の次元、特に幾何学的に対称でない次元では解決が困難なままです。

長い間、高次元空間におけるキス数の上限と下限は計算によってのみ推定することができました。

アンキ・リーさんが初めてこのプロジェクトに取り組み始めたとき、指導教官のコーンさんは彼女に同じアドバイスをしました。それは、他の学生と同じようにコンピューター支援の方法を使って進歩を遂げなさい、というものでした。

アンチー・リーはMITで学士号、ケンブリッジ大学で修士号を取得しました。現在、スタンフォード大学で博士号取得を目指しています。コーン氏に加え、中国の数学者趙雨菲氏をはじめとする多くの著名な教授陣からも指導を受けています。

彼女が「手動」アプローチを試し始めたとき、コーン氏は「たとえ結果が出なくても、成績はAになる」と約束した。

しかしその後すぐに、コーンさんは自分の進歩が「とても興奮する」ものであることに気づいた。

58年ぶりの新たな躍進

アンチー・リーは最初に 16 次元空間を研究し、最もよく知られている配置は、リッチ格子の一部と見なすことができる別の「バーンズ・ウォール格子」から生まれました。

Barnes-Wall グリッドの特徴は、最も一般的な点の座標における負の符号の数が常に偶数であることです。

これにより、ポイント間の距離が十分に確保され、高度に対称的な構造を形成できるようになります。

アンチー・リーの画期的な発見は、「負の符号を奇数個使用したらどうなるか？ 」という点にあります。球が重ならないように細心の注意を払う必要があり、彼女の知る限り、これまで誰もこれを試したことがありませんでした。

コーン氏は当初この方法に懐疑的だったが、コンピューターで検証した結果、球体の配置が正しいことがわかった。

その夏、アンチー・リーはコーンと共にマイクロソフトリサーチのインターンシップに参加した。二人は使用するコーディングスキームを綿密に改良し、最終的に17次元空間におけるキス数の下限を5346から5730に引き上げた。これは、隙間にさらに384個のボールを詰め込むのと同等の数値である。

次に、研究者たちは同様の手法を 18 次元から 21 次元に拡張し、これらの次元におけるキスカウントの下限を更新しました。

もちろん、彼らの新記録は最終的な答えからはまだ遠いかもしれない。17次元を例にとると、現在の上限推定値10978は大幅に過大評価されており、最適化の余地がまだかなりあることを示唆している。

しかし、このユニークなアプローチは、その後の研究に新たな方向性を示しました。

この分野のもう一人の専門家であるオレグ・ムシン氏（4次元空間でのキスの最適回数を証明した人物）は、彼らは全く異なる構築方法を提案したとコメントした。

リジーグは 24 次元で「完璧な」解を導き出しましたが、数学界にさらに深い疑問も投げかけています。なぜこのような見事な解が 24 次元に存在するのでしょうか?

隣接次元に関する研究の進歩は、数学者が自然界のこの優雅さの背後にある根本的なメカニズムを理解するのにも役立ちます。

論文リンク: https://www.arxiv.org/pdf/241...