中国の女性数学者が初のフィールズ賞を受賞するのか？

つい最近、数学の権威であるテレンス・タオ氏が興奮気味にこう発表した。

1世紀以上にわたり数学者を悩ませてきた古典的な問題である「カケヤ予想」が、北京大学卒業生の王紅氏とコロンビア大学数学准教授のジョシュア・ザール氏によって3次元空間で証明された。

テレンス・タオの一般科学の説明によれば、3次元カケヤ予想は次のように主張している。

各方向に単位長さの線分を含む集合（カケヤ集合）は、3次元空間においてミンコフスキー次元とハウスドルフ次元が3である必要があります。（詳細は下記を参照）

この問題は一見一文のように見えますが、調和解析や数論など数学の複数の分野に深く関連しているため、数え切れないほどの数の数学者がその解決に競い合ってきました。

現在、北京大学の卒業生である王紅氏とジョシュア・ザール氏は、127ページの論文でこの主張を証明した。

この問題は直ちに国内で激しい議論を引き起こした。

前述のarXivプレプリントが査読を通過すると、この画期的な成果に基づき、王洪氏は2026年のフィールズ賞の有力候補になるだろうと指摘する人もいる。

フィールズ賞は国際的な数学界で最も権威のある賞の一つであり、 「数学のノーベル賞」とも呼ばれていることを知っておくことは重要です。

この賞は、数学分野に顕著な貢献をした若手数学者（40歳未満）を表彰することを目的としています。この賞は4年ごとに授与され、受賞者は通常、国際数学者会議（ICM）で発表されます。

平洛県宣伝部の報道によると、王紅氏は1991年生まれで、まだ34歳だ。もし彼女がこの賞を受賞すれば、 「フィールズ賞を受賞した初の中国人女性数学者」となる。

掛谷予想：数学における古典的な問題

まず、掛谷予想は 1917 年に日本の数学者掛谷宗一によって提唱され、掛谷予想としても知られています。

この問題のプロトタイプは次のとおりです。

侍がトイレで用を足している時に敵に襲われます。矢が降り注ぎ、持っているのは短い棒だけです。弾を防ぐには、棒を360度回転させる必要があります（支点は変えられます）。しかし、トイレは狭く、棒で掃く範囲はできるだけ狭くする必要があります。どのくらい小さくできるでしょうか？

数式に変換すると次のようになります。

無限に細い針があらゆる方向に回転したときに掃引できる最小の面積はどれくらいでしょうか?

△画像出典：メリル・シャーマン｜クォンタ

数学者はこれらの順列をカケヤ集合と呼びます。3次元空間において、カケヤ集合はあらゆる方向から見ることができる短い直線（単位長さの線分）を含みます。3次元カケヤ予想は以下を主張します。

Kakeya 集合 (R3) は一連の線分の軌跡で構成されているため非常にまばらに見えるかもしれませんが、ミンコフスキー次元とハウスドルフ次元はどちらも 3 です。

ミンコフスキー次元は「ボックス次元」とも呼ばれ、カケヤ集合を覆う構造を連続的に縮小することによって（たとえば、ボックスや球体を使用して）、集合を覆うために必要な要素の数とさまざまなスケールでのスケール サイズの関係を計算するために使用されます。

ハウスドルフ次元はより洗練されており、より微妙な被覆法を考慮に入れています。これにより、カケヤ集合を被覆するために異なるサイズと形状の集合を用いることができ、これらの被覆を最小化することで次元を定義します。

両方の次元が 3 の場合、数学的な観点から見ると、これらのセットは 3 次元空間全体と幾何学的に同一であり、ある意味では空間の大部分を満たします。

言い換えれば、これらの集合は非常にまばらに見えるかもしれませんが、実際には幾何学における空間全体と同じ「体積」または「サイズ」を持っています。

上記の記述は、次の数式に変換できます。

小規模パラメータ (0 << 1) を使用して、サイズ x1 のチューブのセットを検討します。

ここでのチューブは、一辺の長さが 1 である正方形の断面を持つ細長い 3 次元幾何学形状として見ることができます。セット内のチューブの数はおよそ ≈-2 で、これらのチューブはセットを分離する方向を向いています。

「-分離」という用語は、任意の 2 つのチューブの方向間の角度が少なくとも 0 であることを意味します。このように、連続的で複雑な Kakeya 集合の問題は、特定のスケールと方向分布を持つこれらの離散的なチューブ集合の研究に変換されます。

この離散化では、これらのチューブの和集合 U∊ の体積はおよそ 1 になるはずであると仮定されます。

証明を簡略化するために、本論文ではいくつかの単純化のための仮定を導入しています。例えば、チューブ集合は「粘性」を持つ、つまり複数のスケールにわたって同様の構造を維持すると仮定しています。

これに基づいて、この分野におけるこれまでの研究は、下限値（集合の最小可能な次元）の形での研究に重点を置いてきました。

具体的には、3次元空間では、(0 < d < 3) の間のさまざまな次元について、 d が可能な限り大きくなることが期待されます。

初期の研究では、d=1 (単一のチューブのみを考慮)、d=2 (L2 証明と直線交差特性を組み合わせた)、d=2.5 (1995 年の Wolff のくし形証明) のケースが次々と証明されました。

次元パラメータdに関する帰納法

最近まで、Wang Hong と Joshua Zahl がd=3の場合を証明していました。

要約すると、彼らの証明戦略は非常に複雑で、非集約条件、ウォルフの公理、マルチスケール分析などの手法を使用して一連のデモンストレーションを実施しました。

ここでは、Terence Tao 氏がまとめた重要な技術的側面を直接見ていきます。

彼らの全体的な証明アプローチは、次元パラメータ d を帰納的に適用することでした。

彼らはまずケース K(d) を定義し、その目的は数学的導出を通じて、ある範囲内の次元パラメータ d に対して、K(d+) を K(d) から導出できる関係が存在することを証明することでした。ここで、K(d+) は 0 より大きい数値であり、d に関連しています。

PS:K(d)は、寸法xx1と分離方向を持つ約-2本のチューブのすべての構成に対して、不等式(1)が成り立つことを意味します。

この導出処理を繰り返し実行することで、次元パラメータ d は徐々に 3 に近づいていきます。

具体的には、マルチスケール解析技術を使用して、チューブの組み立てと組織構造に関する詳細な研究を実施しました。

彼らはチューブを厚肉部と薄肉部に分け、薄肉部を厚肉部にまとめました。薄肉部は特定の分布を持つため、厚肉部1部が収容できる薄肉部の数は限られています。したがって、すべての薄肉部を覆うには、一定数の厚肉部が必要となります。

次に、K(d)で定義された不等式に基づいて、太管の全体積の下限を計算しました。これを、太管の全体積を計算するためのこれまでの方法と結果と組み合わせることで、太管の特殊な性質である「多重度」をさらに分析しました。

これは、太いパイプが占める空間内でのパイプの密度または重なりを指します。

次に、太いチューブの内側にある細いチューブをスケーリングし、それを K(d) で定義された不等式と再び組み合わせることで、スケーリング後の細いチューブの多重度を導出しました。

粗いチューブと細いチューブの両方の多重度に関する情報に基づいて、すべての細いチューブのセットの多重度の範囲を理論的に導き出すことができます。

その結果、「スティッキー」と呼ばれる特殊なケースにおいて、当初証明しようとしていた不等式と結果が一致することが分かりました。

さらに、「接着」とは、特定のスケールでチューブがしっかりとフィットし、「ヘアブラシ」構造と呼ばれるものを形成するという事実を指します。

さらに、非粘性ケースを扱う際に、彼らは「粒度」の理論を導入しました。これは、セットの内部構造を記述したもので、さまざまなスケールでセットがどのように構成されているかを理解するのに役立ちます。

「非粘性」の場合、太い管と細い管の配置が不均衡になるため、前述のK(d)を直接用いることはできない。そこで、彼らは特殊な集合（太くなったKakeya集合）と球面との交差を考察する。

K(d) が成り立つ場合、この特殊集合はある次元のフラクタルのように振る舞う可能性があります。この特殊集合が特定のスケールで予想よりも密である場合、この特殊集合の近傍体積と球の体積を組み合わせることで、新たな結論を導き出すことができます。

この結論は彼らが証明しようとしていたもの、K(d+)であり、この特殊な稠密ケースは「フロストマン測度の違反」ともみなされます。

さらに、この研究には、チューブセットの動作を記述する一連の仮説である「Katz-Tao凸Wolff公理」の応用も含まれており、これは証明において帰納的仮説として使用されます。

詳細は原論文をご参照ください。

彼は16歳で北京大学に入学したが、数学科に転向した。

この研究の著者は Wang Hong と Joshua Zahl の 2 人だけです。

北京大学卒業生の王紅氏は現在、ニューヨーク大学数学科の准教授である。

彼女は1991年に広西チワン族自治区桂林市平楽県に生まれました。小学校時代に2学年飛び級し、 16歳で北京大学地球宇宙物理学科に653点の成績で入学しました。その後、数学科に編入し、2011年に学士号を取得しました。

2014年にエコール・ポリテクニークで工学の学位を取得し、パリ第1大学で修士号を取得しました。2019年にはラリー・ガスの指導の下、MITで博士号を取得しました。

2019年から2021年までプリンストン高等研究所の博士研究員、2021年から2023年までUCLAの助教授を務めた。

私の主な研究対象はフーリエ変換に関連する問題です。

例えば、ある関数のフーリエ変換が球面などの曲面物体上、あるいは「曲がった」離散点の集合上で定義されているとしたら、この関数についてどのような判断を下せるでしょうか？この関数を複数の部分に分解するにはどうすれば意味があるでしょうか（これは分離理論に関連します）。こうした疑問は、ファルコナー距離問題や交差幾何学にも関連していることが分かっており、私もこれらの関連性に非常に興味を持っています。

もう一人の著者は、現在ブリティッシュコロンビア大学数学科の准教授であるジョシュア・ザール氏です。

彼の主な研究分野は、古典フーリエ解析と組合せ論です。特に、交差幾何学、制約問題、そして掛谷問題に興味を持っています。

論文: https://arxiv.org/abs/2502.17655